Question

【题目】如图，BC为⊙O的直径，以BC为直角边作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边AB与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥BC于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：AE=CE；

（2）若AD=4，AE=，求DG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 ；（2）

【解析】

（1）首先连接CD，由BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，可得AC是⊙O的切线．又由⊙O的切线DE交AC于点E，根据切线长定理，可得ED=EC，然后由等角的余角相等，证得∠A=∠2，即可得：AE=CE；

（2）首先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC长，然后由勾股定理，求得CD的长，再利用三角函数，求得DG的长．

解：（1）如图，连接CD，

∵BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，

∴AC是⊙O的切线，

又∵DE与⊙O相切，

∴ED=EC，

∴∠1=∠3，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°，

∴∠A=∠2，

∴ED=EA，

∴AE=CE；

（2）∵AE=，

∴AC=2AE=． 在Rt△ACD中，，

，

∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°，

∴∠A=∠4，

，

，

∵DG⊥BC于点F，

∴DG=2DF=．