Question

如图，直线y=-

1

2

x-1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将此直线向上平移4个单位后与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于C、D两点，若CD=2AB，则k=

2.5

．

Answer 1

分析：求出AB与x轴、y轴的交点坐标，求出CD与反比例函数的交点坐标表达式，做出CD在x轴上的投影EF，作出DG⊥CF于G，得到△AOB∽△DGC，根据相似三角形的性质得到CD=（2

(9-2k)

）•

5

2

=

45-10k

，
再根据CD=2AB求出k的值．

解答：解：当y=0时，-

1

2

x-1=0，解得x=2，
解得，A点的坐标为（-2，0），
当x=0时，y=-1，解得B点坐标为（0，-1），AB=

22+12

=

5

，
直线y=-

1

2

x-1向上平移4个单位后就是y=-

1

2

x+3，
将其与y=

k

x

联立：

y= k x y=- 1 2 x+3

，
可解得：x=-3±

9-2k

，
∴CD在x轴上的投影长度为EF=-3+

9-2k

-（-3-

9-2k

）=2

9-2k

，
作DG⊥CF于G，
则△AOB∽△DGC，
∵

CD

DG

=

AB

AO

，
∵CD=（2

(9-2k)

）•

5

2

=

45-10k

，
又∵CD=2AB=2

5

，
∴

45-10k

=2

5

，
∴45-10k=20，
解得k=2.5．
故答案为2.5．

点评：本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象，以及一次函数的图象和性质，还涉及勾股定理、相似三角形的性质，综合性较强．