Question

【题目】（1）（学习心得）

小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆⊙，则点、必在⊙上，是⊙的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________．

（2）（问题解决）

如图，在四边形中，，，求的度数．

小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以的中点为圆心，长为半径的圆；的外接圆也是以的中点为圆心，长为半径的圆．这样、、、四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．

（3）（问题拓展）

如图，在中，，是边上的高，且，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）25°；（3）．

【解析】试题分析: （1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求解；（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC=25°；（3）作的外接圆⊙，由，根据同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半可得，所以为等腰直角三角形，求得，即可得；过分别作于，作于，则四边形为矩形，为等腰直角三角形，所以，从而得，在中，由勾股定理求得，继而求得．

试题解析:

（）根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可得： ．

（）、、、四点共圆，

、都是所对的圆周角，

∴．

（）作的外接圆⊙，

∵，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∵，

∴，

∴，

过分别作于，

作于，

则四边形为矩形，

为等腰直角三角形，

∴，

，

在中，

由勾股定理得，

∴．