Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=2

3

，CD为△ABC的中线，点E为CD中点，作∠EAF=30°交直线BC于点F，则CF的长为

3或

6

5

．

Answer 1

分析：结合直角三角形的性质分情况讨论，如图1，当点F在BC的延长线上时，作AG⊥CD于G，EH⊥AB与H，由勾股定理就可以求出DG，AG，EH，AH再由△ACF∽△AHE，由相似三角形的现在就可以求出CF的值，如图2，当F在CB的延长线上时，作EG⊥AC于G，作FH⊥AB于点H，由勾股定理就可以求出EG，AG，设BH=x，由勾股定理就可以求出FH=

3

x，BF=2x，由△AGE∽△AHF就可以求出x的值从而求得BF的值，进而求得CF的值．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，AC=2

3

，
∴∠BAC=30°，AB=2BC．
∴由勾股定理，得
BC=2，AB=4．
∵CD为△ABC的中线，
∴CD=

1

2

AB=2，AD=BD=2．
∴CD=AD，CD=BD=BC，
∴∠BDC=60°
∴∠ACD=∠BAC=30°．
∵点E为CD中点，
∴CE=DE=

1

2

CD=1．
如图1，作EH⊥AB与H，
∴∠ADG=90°，
∴∠DEH=30°，
∴DH=

1

2

DE=

1

2

，EH=

3

2

，
∴AH=

5

2

．
∵∠EAF=∠EAH=30°，
∴∠EAF-∠EAC=∠EAH-∠EAC，
∴∠CAF=∠EAH．
∵∠ACF=∠AHE=90°，
∴△ACF∽△AHE，
∴

AC

AH

=

CF

EH

，
∴

2 3

5 2

=

CF

3 2

，
∴CF=

6

5

；
如图2，作EG⊥AC于G，作FH⊥AB于点H，
∴∠AGE=∠BHF=90°，
∴GE=

1

2

CE=

1

2

，
∴CG=

3

2

，
∴AG=2

3

-

3

2

=

3 3

2

．
∵∠FBH=∠ABC=60°，
∴∠BFH=30°，
∴BF=2BH．
设BH=x，则BF=2x，由勾股定理，得
HF=

3

x．
∵∠BAC=∠EAF=30°
∴∠BAC-∠EAH=∠EAF-∠EAH，
∴∠GAE=∠HAF．
∴△AGE∽△AHF，
∴

AG

AH

=

GE

HF

，
∴

3 3 2

4+x

=

1 2

3 x

，
∴x=

1

2

，
∴BF=1，
∴CF=2+1=3．
故答案为：

6

5

或3．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形相似是关键．