Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：△ABM∽△MCN；
（2）当M点运动到BM的长为1时，求CN的长；
（3）设BM=x，当M点运动到什么位置时，梯形ABCN面积为10，求x的值；
（4）当M点运动到何处时△ABM∽△AMN？

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAM=∠CMN，然后由有两角对应相等的三角形相似，即可得△ABM∽△MCN；
（2）由正方形ABCD边长为4，BM的长为1，则可求得CM的值，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CN的长；
（3）由BM=x，根据相似三角形的对应边成比例，可表示出CN的长，又由梯形ABCN面积为10，即可求得x的值；
（4）由相似三角形的对应边成比例，即可得当

AB

BM

=

AM

MN

时，△ABM∽△AMN，继而可求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMB+∠CMN=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△ABM∽△MCN；

（2）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=1，
∴CM=BC-BM=3，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
即

4

3

=

1

CN

，
∴CN=

3

4

；

（3）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=x，
∴CM=BC-BM=4-x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
∴

4

4-x

=

x

CN

，
∴CN=

x(4-x)

4

，
∵梯形ABCN面积为10，
∴S_梯形ABCN=

1

2

（CN+AB）•BC=

1

2

×[

x(4-x)

4

+4]×4=10，
整理得：x²-4x+4=0，
解得：x=2；

（4）解：设BM=x，
∵正方形ABCD边长为4，
∴CM=BC-BM=4-x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
∴

4

4-x

=

x

CN

，
∴CN=

x(4-x)

4

，
∴在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=16+x²，
在Rt△CMN中，MN²=CM²+CN²=（4-x）²+[

x(4-x)

4

]²=

(4-x)2(16+x2)

16

，
∵∠B=∠AMN=90°，
∴当

AB

BM

=

AM

MN

时，△ABM∽△AMN，
∴当

AB2

BM2

=

AM2

MN2

，即

16

x2

=

16+x2

(4-x)2(16+x2) 16

时，△ABM∽△AMN，
解得：x=2，
∴BM=2，
∴当BM=2时△ABM与△AMN相似．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．