Question

如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O．

（1）求边AB的长；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．

①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；

②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度；

（2）①本小问为探究型问题．要点是确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形；

②本小问为计算型问题．要点是确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度．解答：

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3 ．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

AB=．

（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：

∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，

∴△ABC与△ACD均为等边三角形，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，

∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE与△ACF中，

∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴AE=AF，

∴△AEF是等腰三角形，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形．

②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，

∴CE=，BE=．

由①知△ABE≌△ACF，

∴CF=BE=．

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），

∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），

∠EGA=∠CGF（对顶角）

∴∠EAC=∠GFC．

在△CAE与△CFG中，

∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，

∴△CAE∽△CFG ，

∴，即，

解得：CG=．

【点评】本题是几何综合题，综合考查了相似三角形、全等三角形、四边形（菱形）、三角形（等边三角形和等腰三角形）、勾股定理等重要知识点．虽然涉及考点众多，但本题着重考查基础知识，难度不大，需要同学们深刻理解教材上的基础知识，并能够熟练应用．