Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是 ．

Answer 1

【答案】

【解析】

试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，

∵DC∥AB，

∴PQ⊥AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACD=45°，

∴△PEC是等腰直角三角形，

∴PE=PC，

设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，

∴PD=EQ，

∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，

∴△DPE≌△EQF，

∴DE=EF，

易证明△DEC≌△BEC，

∴DE=BE，

∴EF=BE，

∵EQ⊥FB，

∴FQ=BQ=BF，

∵AB=4，F是AB的中点，

∴BF=2，

∴FQ=BQ=PE=1，

∴CE=，

Rt△DAF中，DF=，

∵DE=EF，DE⊥EF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DE=EF=，

∴PD==3，

如图2，

∵DC∥AB，

∴△DGC∽△FGA，

∴，

∴CG=2AG，DG=2FG，

∴FG=，

∵AC=，

∴CG=，

∴EG=，

连接GM、GN，交EF于H，

∵∠GFE=45°，

∴△GHF是等腰直角三角形，

∴GH=FH=，

∴EH=EF﹣FH=，

∴∠NDE=∠AEF，

∴tan∠NDE=tan∠AEF=，

∴，

∴EN=，

∴NH=EH﹣EN=，

Rt△GNH中，GN=，

由折叠得：MN=GN，EM=EG，

∴△EMN的周长=EN+MN+EM=．