Question

在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线AD、BE相交于O，又∠CAB：∠CBA=3：2，
（1）求∠ADC的度数；
（2）求∠AOE的度数．

Answer 1

解：（1）设∠CAB=3x，则∠CBA=2x，
∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°，∠C=90°，
∴90°+3x+2x=180°，解得x=18°，
∴∠CAB=3×18°=54°，∠CBA=2×18°=36°，
∵∠CAB与∠CBA的平分线AD、BE相交于O，
∴∠CAD=∠CAB=27°，
∵∠ADC+∠CAD+∠C=180°，
∴∠ADC=180°-90°-27°=63°；
（2）∵∠CAB与∠CBA的平分线AD、BE相交于O，
∴∠DAB=∠CAB=27°，∠EBA=∠CBA=18°，
∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=27°+18°=45°．
分析：（1）由∠CAB：∠CBA=3：2，设∠CAB=3x，则∠CBA=2x，根据三角形内角和定理得到90°+3x+2x=180°，解得x=18°，则∠CAB=3×18°=54°，∠CBA=2×18°=36°，再根据角平分线的定义可得∠CAD=∠CAB=27°，然后再根据三角形内角和定理得到∠ADC+∠CAD+∠C=180°，通过计算即可得到∠ADC的度数；
（2）根据角平分线的定义得∠DAB=∠CAB=27°，∠EBA=∠CBA=18°，然后利用三角形外角的性质有∠AOE=∠OAB+∠OBA．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．