Question

【题目】抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为．

（1）连接，求证：四边形是平行四边形；

（2）连接，，当为何值时？

（3）在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）0或1；（3）存在，或

【解析】

（1）分别求出点A，B，E的坐标，设抛物线的解析式为交点式，代入点C的坐标，求出抛物线的解析式，进而可求出CQ的长和直线CQ的解析式，同时求出AE的长和AE的解析式，推出，CQ∥AE即可证得四边形是平行四边形；

（2）根据题意将△APD的面积和△DAB的面积表示出来，令其相等，即可解出m的值；

（3）分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三种情况，分别求解即可．

解：（1）证明：连接，，如图所示，直线与抛物线交于点，则点，点．∵，，∴点的坐标为，

设抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得，

解得，∴抛物线的表达式为，

∴抛物线的对称轴为直线，故点的坐标为．∴，

的解析式为，又∵，直线的解析式为，

∴，CQ∥AE，∴四边形是半行四边形．

（2）∵，∴，，∴点的坐标为．

如图1，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点，

∴，

解得或1．

（3）存在，点的坐标为或或．

设点，点，，而点，

①当时，如图2，过点作轴的平行线，过点，点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点，，

∵，，

∴，∵，，

∴，∴，，

即，，解得．当时，，解得，（舍去）∴点．

②当时，如图3所示，

同理可得，（舍去），故点坐标为．

③当时，如图4所示，

同理可得，解得（舍去），．点．

综上可得，点的坐标为或．