Question

如图，已知一次函数y=kx+

3

2

的图象经过点M（2，0），与正比例函数
y=-

3

2

x的图象交于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B．
（1）求k值；并计算y=kx+

3

2

的图象与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求交点A的坐标，计算AM的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以三点P、A、M组成的三角形AMP为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点M（2，0）代入即可求出k的值，然后即可求出三角形的面积；
（2）由

y=- 3 4 x+ 3 2 y=- 3 2 x

，即可解得点A的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当PA=PM时，②当AM=MP时，③当AP=AM时．

解答：解：（1）∵一次函数y=kx+

3

2

的图象经过点M（2，0），
∴2k+

3

2

=0，
∴k=-

3

4

，
∴y=-

3

4

x+

3

2

的图象与坐标轴围成的三角形的面积=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；

（2）∵y=-

3

4

x+

3

2

与正比例函数y=-

3

2

x的图象交于点A，
∴

y=- 3 4 x+ 3 2 y=- 3 2 x

，
解得

x=-2 y=3

，
∴A（-2，3），
∵M（2，0），
∴AM=

(-2)2+(3-2)2

=5；

（3）假设存在P，设P（a，0），①当PA=PM时，P（-

9

8

，0）；
②当AM=MP时，|a-2|=5，解得a=7或a=-3；
③当AP=AM时，（a+2）²+9=25，解得a=2或a=-4；
故存在P点坐标为：（-

9

8

，0）或（7，0）或（-3，0）或（-4，0）．

点评：本题考查了一次函数的综合知识，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想求解．