Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣5，0），B（1，0），C（0，）三点

（1）填空：抛物线的解析式是　　；

（2）①在抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；

②点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以B，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x -2x+ ；（2）①点P的坐标是（﹣2，）;②存在 ，满足题目条件的点N共有三个，分别为（﹣4，），（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．

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【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+5）（x﹣1），再把C（0，）代入求出a的值，整理即可求得抛物线的解析式；（2）连接AC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求，用待定系数法求得直线AC的解析式，由此即可求得点P的坐标；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况求点N的坐标即可.

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1），

把（0，）代入得：﹣5a=，a=﹣，

∴抛物线的解析式是：y=﹣x -2x+；

故答案为： y=﹣x -2x+；

（2）①由题意知，点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，如图1，连接AC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求．

设直线AC的解析式为：y=kx+b，由题意，得，解得，

∴直线AC的解析式为：y=x+，

∵抛物线：y=﹣=﹣（x﹣2）2+，

∴对称轴是x=﹣2，

∴当x=﹣2时，y=x+=，

∴点P的坐标是（﹣2，）．

②存在

（ i）当存在的点N在x轴的上方时，如图2所示，

∵四边形BCNM1或四边形CNBM2是平行四边形，

∴CN∥x轴，

∴点C与点N关于对称轴x=﹣2对称，

∵C点的坐标为（0，），

∴点N的坐标为（﹣4，）

（ II）当存在的点N在x轴下方时，如图3所示，作NH⊥x轴于点H，

∵四边形BCMN是平行四边形，

∴BC=MN，∠NMH=∠CBO，

∴Rt△CBO≌Rt△NMH，

∴NH=OC．

∵点C的坐标为（0，），

∴NH=，即N点的纵坐标为﹣，

∴﹣=﹣即x2+4x﹣10=0，

解得（就是点N1），，

∴点N的坐标为（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．

综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为（﹣4，），（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．