Question

（1998•四川）已知：如图⊙O中，CD为直径，半径OA⊥CD，点B在OA上，延长CB交⊙O于点M，

CM

DM

=

3

2

，MB•BC=20，求：
（1）⊙O的半径和DM的长（单位：厘米）；
（2）△ABM的面积．

Answer 1

分析：（1）首先求出△CMD∽△COB，则

BO

CO

=

DM

CM

=

2

3

，进而得出圆的半径长，再利用勾股定理得出DM的长；
（2）利用已知得出△ABM∽△CBE，进而求出相似比，再利用相似图形的性质得出△ABM的面积．

解答：解：（1）延长AO交⊙O于点E，
∵CD为直径，半径OA⊥CD，
∴∠CMD=90°，∠COB=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CMD∽△COB，
∴

BO

CO

=

DM

CM

=

2

3

，
设半径为3x，则BO=2x，AB=x，
∵MB•BC=20，
∴AB×BE=20，
∴x×5x=20，
解得：x=2，
∴⊙O的半径为6cm，
∴CD=12cm，
设DM=2y，则CM=3y，
∴4y²+9y²=144，
解得：y=

12 13

13

，
∴DM的长为

24 13

13

cm；

（2）连接CE，
∵∠ABM=∠CBM，∠AMB=∠E，
∴△ABM∽△CBE，
∵BO=4，CO=6，
∴BC=

36+16

=2

13

（cm），
∴

AB

BC

=

BM

BE

=

2

2 13

=

13

13

，
∴S_△ABM：S_△BCE=（

13

13

）²=

1

13

，
∵AB=2，BE=10，CO=6cm，
∴S_△BCM=

1

2

×6×10=30（cm²），
∴S_△ABM=

30

13

（cm²）．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质等知识，根据题意得出△ABM∽△CBE是解题关键．