Question

已知反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-

3

，1），点P（m，

3

m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是

1

2

，设Q点的纵坐标为n，则n²-2

3

n+9的值是

8

．

Answer 1

分析：由于反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-

3

，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；把点P（m，

3

m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是

1

2

，根据三角形的面积公式及m＜0，得出m、n的值，最后将所求的代数式变形，把m、n的值代入，即可求出n²-2

3

n+9的值．

解答：解：∵反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-

3

，1），
∴k=（-

3

）×1，
∴反比例函数的解析式为y=-

3

x

，
∵点P（m，

3

m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），
∴m（

3

m+6）=-

3

，
∴m²+2

3

m+1=0，
∵PQ⊥x轴，
∴Q点的坐标为（m，n）．
∵△OQM的面积是

1

2

，即

1

2

OM•QM=

1

2

，
∵m＜0，
∴mn=-1，
∴m²n²+2

3

mn²+n²=0，
∴n²-2

3

n=-1，
∴n²-2

3

n+9=8．
 故答案为：8．

点评：本题考查的是反比例函数的性质，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn=-1作为一个整体代入，有一定的技巧性．