Question

设m=

a+2 a-1

+

a-2 a-1

(1≤a≤2)，求m¹⁰+m⁹+m⁸+…+m-47的值．

Answer 1

考点：二次根式有意义的条件,有理数的混合运算

专题：

分析：先根据完全平方公式化简m并求出m的值，再把m的值代入，运用等比数列的求和公式得出结果．

解答：解：∵1≤a≤2，0≤a-1≤1，
∴m=

(a-1)+2 a-1 +1

+

(a-1)-2 a-1 +1

=

a-1

+1+1-

a-1

=2．
∴m¹⁰+m⁹+m⁸+…+m-47=（m¹⁰+m⁹+m⁸+…+m+1）-48
=

(m-1)(m10+m9+m8++m+1)

m-1

-48=

m11-1

m-1

-48=211-1-48
=2048-1-48=1999．
注：此题可利用关系式2⁰+2¹+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，运算将更简单．

点评：本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用及等比数列的求和公式．属于竞赛题目，有一定难度．注意求m的值时，看清字母a的取值范围．