Question

【题目】如图，点在以为直径的上，的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长度.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，由为的直径得到∠ACB=90，根据CD平分∠ACB及圆周角定理得到∠AOD=90，再根据DE∥AB推出OD⊥DE ，即可得到是的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，求出OH，根据△CHM∽△DOM求出HM得到AM，再利用平行线证明△CAM∽△CED，即可求出DE.

（1）如图，连接OD，

∵为的直径，

∴∠ACB=90，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=45，

∴∠AOD=90，

即OD⊥AB，

∵DE∥AB，

∴OD⊥DE ,

∴是的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，

∵∠ACB=90，，，

∴AB=,

∵S△ABC=,

∴CH=,

∴AH=,

∴OH=OA-AH=5-3.6=1.4，

∵∠CHM=∠DOM=90，∠HMC=∠DMO,

∴△CHM∽△DOM,

∴

∴=，，

∴HM=,

∴AM=AH+HM=,

∵AB∥DE,

∴△CAM∽△CED,

∴,

∴DE=.