Question

【题目】图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．

﹙1﹚求AP长的取值范围；

﹙2﹚在阳光垂直照射下，伞张得最开时，求伞下的阴影﹙假定为圆面﹚面积S﹙结果保留π﹚．

Answer 1

【答案】（1）AP的取值范围是：0≤x≤10；（2）S最大=315π（平方分米）．

【解析】

（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得AP的取值范围；

（2）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径，再利用二次函数增减性求出即可．

（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，

∴AB=AC﹣BC=10分米．

∴设AP=x，则AP的取值范围是：0≤x≤10；

（2）连接MN、EF，分别交AC于B、H．

设AP=x分米，

∵PM=PN=CM=CN，

∴四边形PNCM是菱形．

∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，

PB=

在Rt△MBP中，PM=6分米，

∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣（6﹣x）2=6x﹣x2．

∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，

∴EH=HF，EF⊥AC．

∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，

∴△CMB∽△CEH．

∴．

∴=（）2=

∴EH2=9MB2=9（6x﹣x2）．

∴S=πEH2=9π（6x﹣x2），

即S=﹣πx2+54πx，

∵x=﹣=12，0≤x≤10，

∴x=10时，S最大=﹣π×100+54π×10=315π（平方分米）．