Question

（2011•邯郸一模）如图1，△ABC和△BCD中，∠ABC=∠DCB=90°，AB=3，BC=4，CD=5，AC与BD交于点E，点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动．过点P作PQ∥CD，交BD于Q点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为x（秒）．
（1）CE=

25

8

；当PQ=

5

2

时，x=

25

16

；
（2）当点P在线段CE上运动时，设线段PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当点P在线段CE上运动时，设正方形PQMN与△ECD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，S有最大值？
（4）当0≤x≤5时，直接写出AC的中点在正方形PQMN内部时x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据AB∥CD，可以得到

AE

EC

=

AB

CD

，即可求得CE的长度，进而依据PQ∥CD，得到

EP

EC

=

PQ

CD

求得EP的长，进而得到CP的长度，求得x的值；
（2）根据PQ∥CD，得到△EQP∽△EDC，在根据相似三角形的对应边的比相等即可求得函数的解析式；
（3）根据△EQP∽△EDC，利用x表示出PN的长，则函数解析式即可求得，然后利用二次函数的性质，即可求得最值；
（4）显然，当P在CE上时，不合题意．则P一定在AE上，根据AC的中点O到PQ的距离一定小于正方形的边长，即可求得x的范围．

解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠ABC=∠DCB=90°
∴AB∥CD
∴

AE

EC

=

AB

CD

=

3

5

∴CE=

25

8

，
∵PQ∥CD
∴

EP

EC

=

PQ

CD

=

5 2

5

=

1

2

，
∴PE=

1

2

CE=

25

16

∴x=CP=EC-EP=

25

16

，
当点P在EA上时，也可能出现PQ=2.5，此时x=

25

16

；

（2）∵PQ∥CD，
∴△EQP∽△EDC．
∴

PQ

CD

=

EP

EC

∴

y

5

=

25 8 -x

25 8

∴y=-

8

5

x+5；

（3）设PN与CD的交点为K，由△CKP∽△ABC得PK=

4

5

x，
应分两种情况讨论：①0≤x≤

25

12

时，S=-

32

25

x²+4x，
当x=

25

16

时，S有最大值为

25

8

； 
②当

25

12

≤x≤

25

8

时，S=(-

8

5

x+5)2=

64

25

(x-

25

8

)2，
对应图象在对称轴左侧，此时S随x的增大而减小，当x=

25

12

时，S有最大值

25

9

．
综上所述，当x=

25

16

时，S有最大值为

25

8

； 

（4）显然，当P在CE上时，不合题意．当P在AE上时，PQ=

8x

5

-5，
设AC中点为O，O到PQ的距离为OT，则OT=

4x

5

-2，
由PQ＞OT即

8x

5

-5＞

4x

5

-2，得x＞

15

4

．
所以

15

4

＜x≤5为所求．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质与二次函数的性质的综合应用，正确求得函数的解析式是关键．