Question

已知1+x+x²=0，求代数式1+x+x²+x³+…+x²⁰¹³的值．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：首先分组分解代数式1+x+x²+x³+…+x²⁰¹³，整体代入得出代数式结果为x²⁰¹³，再进一步整理1+x+x²=0，得出x²=-x-1，x²+x=-1，由x³=x•x²=x²=x（-x-1）=-（x+x²）=1，代入x²⁰¹³求得答案即可．

解答：解：∵1+x+x²=0，
∴1+x+x²+x³+…+x²⁰¹³
=（1+x+x²）+（x³+x⁴+x⁵）+…+（x²⁰¹⁰+x²⁰¹¹+x²⁰¹²）+x²⁰¹³
=x²⁰¹³；
又∵x²+x=-1，x²=-x-1，
∴x³=x•x²=x²=x（-x-1）=-（x+x²）=1，
∴x²⁰¹³=（x³）⁶⁷¹=1．

点评：此题考查因式分解的运用，分组分解和整体代入是解决问题的关键．