Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的

直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．

(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求

AB的长度，

Answer 1

 （1）证明：连接OC                                         

∵OA=OC

∴

又

∴∠DAC=∠OCA                                         

∴PB∥CO

∴∠PDC=∠DCO=90°

∴OC⊥DC                                                             ……3分

又OC为⊙O的半径

∴CD为⊙O的切线.                                                     ……4分

（2）解：:过O作，垂足为F，则，

在中，由勾股定理知

即

化简得：

解得：或x=9.                                               ……6分

由，知，故                                ……7分

从而AD=2，                                    

因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以    ……8分

（若设OF=x，可得方程：（x-1）²+x²=25，解得：x₁=4，x₂=－3（舍去），AF=4－1=3，AB=2AF=6）