Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．

求证：（1）BE=EC，（2））BE⊥EC

Answer 1

证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，

且有一个锐角是45°，

∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，

∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，

∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，

∵D是AC的中点，∴AD=CD=AC，

∵AC=2AB，∴AB=AD=DC，

∵在△EAB和△EDC中，∴△EAB≌△EDC（SAS），

∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，

∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，

∴BE⊥EC．