题目内容
【题目】如图一，在射线
的一侧以
为一条边作矩形
，
，
，点
是线段
上一动点（不与点
重合），连结
，过点作的垂线交射线于点
，连接
．
（1）求
的大小；
（2）问题探究：动点在运动的过程中，
①是否能使
为等腰三角形，如果能，求出线段
的长度；如果不能，请说明理由．
②
的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，
与的交点为
，
的中点为
，求线段
的长度．
【答案】（1）
；（2）①能，
的值为5或
；②大小不变，
；（3）
.
【解析】
（1）在
中，求出
的正切值即可解决问题．
（2）①分两种情形：当
时，当
时，分别求解即可．
②
．利用四点共圆解决问题即可．
（3）首先证明
是等边三角形，再证明
垂直平分线段
，解直角三角形即可解决问题．
解：（1）如图一（1）中，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
∴．
（2）①如图一（1）中，当
时，
∵
，
，，
∴
，
∴
，
在
中，∵
，
，
∴
，
∵
，，
∴是等边三角形，
∴
，
∴
．
如图一（2）中，当时，易证
，
∵
，
∴
，∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
综上所述，满足条件的的值为5或．
②结论：大小不变．
理由：如图一（1）中，∵
，
∴
四点共圆，
∴
．
如图一（2）中，∵
，
∴
四点共圆，
∴
，
∵
，
∴
，
综上所述，．
（3）如图二中，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴是等边三角形，
∴
，
∵，
∴
，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
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【题目】某校计划开设美术、书法、体育、音乐兴趣班，为了解学生报名的意向，随机调查了部分学生，要求被调查的学生必选且只选一项，根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：
兴趣班 | 人数 | 百分比 |
美术 | 10 |
|
书法 | 30 |
|
体育 |
|
|
音乐 | 20 |
|
根据统计图表的信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的样本容量和表中
的值；
（2）将折线图补充完整；
（3）该校现有2000名学生，估计该校参加音乐兴趣班的学生有多少人？
