Question

如图，二次函数y=

1

2

x²+bx-

3

2

的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：______；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（-3，4）；

（2）设PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴

4

3-t

=

t

l

∴l=-

1

4

t2+

3

4

t=-

1

4

（t-

3

2

）²+

9

16

∴当t=

3

2

时，l有最大值

9

16

即P为AO中点时，OE的最大值为

9

16

；

（3）存在．
①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G，
P点的坐标为（-4，0），
∴PA=OP-AO=4-3=1，
由△PAD≌△EOP得OE=PA=1
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG=

4

5

AO=

12

5

∴重叠部分的面积=

1

2

×4×

12

5

=

24

5

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），
此时重叠部分的面积为

712

77