Question

如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足为E，F．

(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明；

(2)在(1)中，当P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形． 　　∵AD＝2AB，而AM＝DM．∴△AMB为等腰直角三角形， 　　同理，△CDM为等腰直角三角形，∴∠AMB＝∠DMC＝45°， 　　∴∠BMC＝90°． 　　又∠MFP＝∠MEP＝90°，∴四边形PEMF为矩形． 　　(2)当点P位于BC中点时，矩形PEMF为正方形． 　　∵△BMC为等腰直角三角形，当点P位于BC的中点时，矩形PEMF为正方形． 　　∵△BMC为等腰三角形，当点P位于BC中点时，有PE＝PF，故矩形PEMF为正方形．