Question

探索与研究：
原题再现：如图，圆柱形木块的高为8，底面半径为2，下底面A点处有一蚂蚁，想吃到上底面相对的B点处的食物，需沿圆柱表面爬行的最短路程是多少？（原题不须解答．以下π均取近似值3）
（1）思考：沿圆柱表面爬行一定是沿侧面爬行吗？若沿A→C→B爬行，则路程是

12

；
（2）继续思考：是否一定是沿侧面爬行的路径最短呢？若圆柱的高为5，底面半径为4，试通过计算比较沿侧面爬行路程，l₁与沿A→C→B爬行路程l₂的长短；
（3）深入思考：若设圆柱的高为h，底面半径为r，试研究r与h的关系对两种路径长短的影响．

Answer 1

分析：（1）利用圆柱形木块的高为8，底面半径为2，即可得出沿A→C→B爬行的路程；
（2）根据勾股定理以及线段长度得出即可；
（3）利用分类讨论得出①当l₁=l₂时，②当l₁＞l₂时，③当l₁＜l₂时，r与h的关系．

解答：解；（1）不一定，
若沿A→C→B爬行，则路程是8+2+2=12；
故答案为：12；

（2）∵展开图的边长为：π×4≈12和5，
∴l₁=

52+122

=13，l₂=5+4+4=13，
∴两种路径一样长；

（3）l₁=

h2+(3r)2

=

h2+9r2

，
l₂=h+2r，
①当l₁=l₂时，两种路径相同，
∴h+2r=

h2+9r2

，
两边平方并整理得出：5r²=4hr，即r=

4

5

h；
②当l₁＞l₂时，路径A→C→B最短，
∴

h2+9r2

＞h+2r，
∴5r＞4h，即r＞

4

5

h；
③当l₁＜l₂时，沿侧面爬行路途最短，
∴

h2+9r2

＜h+2r，
∴5r＜4h，即r＜

4

5

h．

点评：此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．