Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(-，0)、(0，-1)，把点A绕坐标原点O顺时针旋转135°得点C，若点C在反比例函数y=的图象上．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若点D在y轴上，点E在反比例函数y=的图象上，且以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形．请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点D、E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）示意图见解析，E（-，-），D（0，-1-）或E（-，-），D（0，-1+）或E ， D

【解析】

（1）根据旋转和直角三角形的边角关系可以求出点C的坐标，进而确定反比例函数的关系式；

（2）分两种情况进行讨论解答，①点E在第三象限，由题意可得E的横坐标与点A的相同，将A的横坐标代入反比例函数的关系式，可求出纵坐标，得到E的坐标，进而得到AE的长，也是BD的长，因此D在B的上方和下方，即可求出点D的坐标，②点E在第一象限，由三角形全等，得到E的横坐标，代入求出纵坐标，确定E的坐标，进而求出点D的坐标．

（1）由旋转得：OC=OA=，∠AOC=135°，

过点C作CM⊥y轴，垂足为M，则∠COM=135°-90°=45°，

在Rt△OMC中，∠COM=45°，OC=，

∴OM=CM=1，

∴点C（1，1），代入y=得：k=1，

∴反比例函数的关系式为：y=，

答：反比例函数的关系式为：y=

（2）①当点E在第三象限反比例函数的图象上，如图1，图2，

∵点D在y轴上，AEDB是平行四边形，

∴AE∥DB，AE=BD，AE⊥OA，

当x=-时，y==-，

∴E（-，-）

∵B（0，-1），BD=AE=，

当点D在B的下方时，

∴D（0，-1-）

当点D在B的上方时，

∴D（0，-1+），

②当点E在第一象限反比例函数的图象上时，如图3，

过点E作EN⊥y轴，垂足为N，

∵ABED是平行四边形，

∴AB=DE，AB=DE，

∴∠ABO=∠EDO，

∴△AOB≌△END （AAS），

∴EN=OA=，DN=OB=1，

当x=时，代入y=得：y=，

∴E（，），

∴ON=，OD=ON+DN=1+，

∴D（0，1+）