Question

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D. 点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。

【小题1】（1）当x为何值时，PQ⊥AC，x为何值时，PQ⊥AB；
【小题2】（2）设△PQD的面积为y(cm²)，当0<x<2时，求y与x的函数关系式；
【小题3】（3）当0<x<2时，求证：AD平分△PQD的面积。

Answer 1

【小题1】1）
解：当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC. 当Q在AC上时，
由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x，∵AB=BC=CA="4 " ∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4-x=2×2x,  ∴，
当（Q在AC上）时，PQ⊥AC，………2分
 
如图：①当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=，AC+AQ=2x，                  ∵AC=4，∴AQ=2x-4，∴ 
∴，故时PQ⊥AB. ………4分
【小题2】（2）
解：如图②，当0<x<2时，P在BD上，Q在AC上，
过点Q作QH⊥BC于H，∵∠C=60°，QC=2x，
∴QH=QC×sin60°=x
，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∴DP=2-x，………5分
∴………6分
【小题3】（3）当0<x<2时，在Rt△QHC中，QC=2x，∠C=60°，
∴HC=x∴BP=HC，∴BD=CD， ∴DP=DH
∵AD⊥BC，QH⊥BC   ∴AD∥QH，
∴OP="OQ" ∴ 
∴AD平分△PQD的面积………7

解析