Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为边AB、CD的中点，BD是平行四边形ABCD的对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若AE＝DE，则四边形AGBD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）若AE＝DE，则四边形AGBD是矩形；理由见解析.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，DC∥AB，DC＝AB，推出DF＝BE，DF∥BE，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）先证明四边形AGBD是平行四边形，再证出∠ADB＝90°，即可得出结论．

（1）证明：∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD．

∴点EF分别为边AB、CD的中点，

∴BE＝AB，DF＝CD，

∴BE＝DF，

∵BE∥DF，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）解：若AE＝DE，则四边形AGBD是矩形；理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BG，

∵AG∥BD，

∴四边形AGBD是平行四边形，

∵点E是AB的中点，

∴AE＝BE＝AB，

∵AE＝DE，

∴AE＝DE＝BE，

∴∠DAE＝∠ADE，∠EDB＝∠EBD，

∵∠DAE+∠ADE+∠EDB+∠EBD＝180°，

∴2∠ADE+2∠EDB＝180°，

∴∠ADE+∠EDB＝90°，即∠ADB＝90°，

∴平行四边形AGBD是矩形．