Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE．已知DE=10，cos∠BAG=，．求：

（1）⊙A的半径AD的长；

（2）∠EGC的余切值．

Answer 1

【答案】（1）13．（2）．

【解析】

（1）由在⊙A中，AF⊥DE，DE=10，由垂径定理可求得DF的长，又由cos∠DAF=，利用勾股定理即可求得AD的长；

（2）由AB=AC，AD=AE，易证得△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得FG的长，继而求得∠EGC的余切值．

（1）在⊙A中，

∵AF⊥DE，DE=10，

∴DF=EF=DE=×10=5．

在Rt△ADF中，由cos∠DAF=，

设AF=12k，AD=13k．

利用勾股定理，得AF2+DF2=AD2．

∴（12k）2+52=（13k）2．

解得：k=1．

∴AD=13．

（2）由（1），可知FE=12k=12．

∵

∴

在⊙A中，AD=AE．

又∵AB=AC，

∴．

∴DE∥BC．

∴△ADE∽△ABC，∠EGC=∠FEG，

∵AF⊥DE，

∴AG⊥BC，

∴．

∴AG=36．

∴AF=12，

∴FG=AG-AF=24．

在Rt△EFG中，cot∠FEG=

即得cot∠EGC=．