Question

【题目】如图，为⊙的内接三角形，为⊙的直径，在线段上取点（不与端点重合），作，分别交、圆周于、，连接，已知．

（1）求证：为⊙的切线；

（2）已知，填空：

①当__________时，四边形是菱形；

②若，当__________时，为等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②．

【解析】

（1）连接,利用已知条件和圆的基本性质证明即可得到直线AG是⊙O的切线；

（2）①假设四边形为菱形，易得△AOB为等边三角形，可得∠ABC=120°，可得，即可得出答案；

②假设为等腰直角三角形，可得，可得：和都是等腰三角形，可证：四边形为矩形，由，可得，可证，计算可得，即可得出答案．

证明：（1）如图，连接，

即

为半径，

为⊙的切线；

（2）答案为：；．提示如下：

①若四边形为菱形，

，

又,

为等边三角形，

，

,

；

②如图所示，若为等腰直角三角形，

，

和都是等腰三角形，在等腰中，为斜边中线，

，

，

四边形为矩形，

，

,

，

,

．

故答案为：；．