Question

【题目】将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2 ，P是AC上的一个动点．

（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP、BP，求CP、DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时平行四边形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．

（1）如图（1），作DF⊥AC，

∵Rt△ACD中，AD＝CD，

∴DF＝AF＝CF＝．

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC＝30°，

∴CP＝1，PF＝，

∴DP==．

（2）

解：当P点位置如图（2）所示时，

根据（1）中结论，DF＝,∠ADF＝45°，又PD＝BC=，

∴＝，

∴∠PDF＝30°．

∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．

当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．

∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．

（3）

解：∵BC⊥AC

∴只有当DP⊥AC时，以D，P，B，Q为顶点的四边形为平行四边形.

如图，在DPBQ中，BC∥DP，

∵∠ACB＝90°，

∴DP⊥AC．

根据（1）中结论可知，DP＝CP＝，

∴SDPBQ＝DP·CP＝．

【解析】（1）含30度角的直角三角形中，三边的比是1：:2，依此可求得CP；构造直角三角形PDF，先求出PF和DE，即可求得PD；
（2）分类讨论：P在DF左边和P在DF右边；
（3）只能是DP//BC，且DP=BC，则DP⊥AC，CP是平行线DP与BC之间的距离，则SDPBQ＝DP·CP.