Question

【题目】如图，四边形为一个矩形纸片，，．动点自点出发沿方向运动至点后停止，以直线为轴翻折，点落在点的位置．设，与原纸片重叠部分的面积为．

（1）当为何值时，直线过点；

（2）当为何值时，直线过的中点；

（3）求出与的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）当时，直线过点；（2）当时，直线过的中点；（3）当时，；当时，

【解析】

（1）根据折叠得出AD＝AD1＝2，PD＝PD1＝x，∠D＝∠AD1P＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（2）连接PE，求出BE＝CE＝1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，D1E＝，PC＝3x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y＝x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF＝PF，作PG⊥AB于G，设PF＝AF＝a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程(xa)＋2＝a，求出a即可．

（1）由题意得，

∴，，．

∵直线过，

∴．

在中，，．

在，中，，

即，解得，

∴当时，直线过点．

（2）如图，连接，

∵为的中点，

∴．

在中，．

∵，，

∴，．

在和中，

，解得，

∴当时，直线过的中点．

（3）如图3，当时，，

如图4，当时，点在矩形的外部，交于，

∵AB∥CD，

∴．

∵，

∴，

∴．

作于，设，

由题意得，，

在中，，

解得，

∴．

综合所述，当时，；当时，．