Question

如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意．因此本题分两种情况进行讨论：①当∠ADN=∠BME时，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出关于DE，BE，EM的比例关系式，即可求出x的值．
②当∠AND=∠BEM时，∠ADB=∠BME，可根据这两个角的正切值求出x的值．

解答：解：因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论，设BE长为x．
①如图1，当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足为F，
tan∠ADB=tan∠BEM，
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②如图2，当∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∴

DE

BE

=

BE

EM

，
BE²=DE•EM=

1

2

DE²=

1

2

（DF²+EF²），
∴BE²=

1

2

[2²+（4-x）²]，
∴x₁=2，x₂=-10（舍去），
∴BE=2．
综上所述线段BE为8或2，
故答案为8或2．

点评：本题主要考查了直角梯形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，题目的难度在于要根据不同的对应角相等来分情况讨论，不要漏解．