Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）见解析   （2）见解析   （3）﹣π

（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴=，
∴AC²=AD•AB．
（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1，
由勾股定理得：DC=，
∴阴影部分的面积是S=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA=×（2+1）×﹣=﹣π．