Question

 在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0°＜＜180°），得到△A′B′C．

（1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；

（2）如图（2），连接A′A、B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为S_△ACA′ 和S_△BCB′．求证：S_△ACA′ ：S_△BCB′ =1：3；

 

Answer 1

证明过程见解析

解析:（1）∵AB∥CB′，∴∠B=∠BC B′=30°，∴∠A′CD=60°，

又∵∠A′=60°，∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，∴△A′CD是等边三角形；…………4分

        （2）∵AC=A′C，BC=B′C，∴  又∵∠ACA′=∠BCB′，

∴△ACA′∽△BCB′，…………6分

∵相似比为，

∴S_△ACA′ ：S_△BCB′ =1：3；…………8分

（1）当AB∥CB₁时，∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，则∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，可证：△A₁CD是等边三角形；

（2）由旋转的性质可证△ACA₁和△BCB₁，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；