Question

【题目】已知点在抛物线：（，均为常数且）上，交轴于点，连接．

（1）用表示，并求的对称轴；

（2）当经过点（4，-7）时，求此时的表达式及其顶点坐标；

（3）横，纵坐标都是整数的点叫做整点如图，当时，若在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，求的取值范围：

（4）点，是上的两点，若，当时，均有，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）；（4）或或．

【解析】

（1）将点代入抛物线的解析式可得；根据二次函数的对称轴的计算公式即可得；

（2）结合（1）的结论，将点代入求解即可得此时的表达式，再将其化为顶点式即可得顶点坐标；

（3）先根据二次函数的性质求出点C坐标，再根据整点的定义求出这五个整点的坐标，然后可得L的顶点纵坐标需满足的条件，求解即可得；

（4）根据a的取值分和两种情况，然后分别利用二次函数的增减性和对称性求解即可得．

（1）点在抛物线：

整理得：

的对称轴为

即的对称轴为；

（2）由（1）得

当经过点时，有，解得

则此时的表达式为

将化为顶点式得

则此时的顶点坐标为；

（3）由（1）得

由的图象可知，经过点和，开口向下

则所求区域内的整点即为对称轴上的整点

因此，当该区域中恰有5个整点时，这五个整点坐标为

由此可得，的顶点纵坐标应满足：

解得；

（4）由（1）得，其对称轴为

则和时的函数值相等

由题意，分以下两种情况：

①当时，抛物线开口向上

二次函数的增减性为：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大

要使，时，均有

则或

即或

②当时，抛物线开口向下

二次函数的增减性为：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小

要使，时，均有

则

解得

综上，所求的t的取值范围为或或．