Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF、DE．

（1）请在图1中找出长度相等的两条线段？并说明理由．（AB＝AC除外）

（2）如图2，当AC平分∠BAD，∠DEF＝90°时，求∠BAD的度数．

（3）如图3，四边形CDEF是边长为2的菱形，求S四边形ABCD．

Answer 1

【答案】（1）DE＝EF，见解析；（2）∠BAD＝60°；（3）S四边形ABCD＝6．

【解析】

（1）利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；

（2）先证明∠CEF=∠BAD，∠DEC=∠BAD，根据∠DEF=90°列方程得∠BAD的度数；

（3）由四边形CDEF是菱形，说明△CDE是等边三角形，再根据等底同高说明△CDE与△DEA间关系，根据相似说明△CAB与△CEF间关系，由DE=2得AB=4，得等边△DEC的面积，利用三角形的面积间关系得结论．

（1）DE＝EF，

在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，

∴EF∥AB，且EF＝AB，

在Rt△ACD中，点E为AC的中点，

∴DE＝AC，

∵AB＝AC，

∴DE＝EF；

（2）∵AC平分∠BAD，EF∥AB，

DE＝AC＝AE＝EC，

∴∠BAC＝∠DAC，∠CEF＝∠BAC，∠DEC＝2∠DAC＝∠BAD，

∵∠DEF＝90°，

∴∠CEF+∠DEC＝∠BAC+2∠DAC＝90°，

∴∠BAC＝∠DAC＝30°，

∴∠BAD＝60°；

（3）四边形ABCD的面积为：

∵四边形CDEF是菱形，EC＝DE，

∴△CDE与△CEF都是等边三角形，

∵EF＝DE＝CD＝CF＝2，

∴AB＝4，

∴S△DCE＝S△DEA＝S△CEF；

∵EF∥AB，

∴，

∴S△ABC＝4S△CEF＝4

∴S四边形ABCD＝S△DCE+S△DEA+S△ABC＝2×+4＝6．