Question

如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD=10，OE=13，且∠EDC=∠ABC．
（1）求证：；
（2）计算CE•BE的值；
（3）探究：BE的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得△ABE和△DCE中的两组对应角相等，再根据相似三角形的判定和性质进行证明；
（2）根据已知条件可以计算出DE和AE的长，再根据割线定理得到CE•BE的长；
（3）根据切线的性质和AE的长确定它的取值范围．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B，∠DCE=∠A；
∴△CDE∽△ABE；
∴．

（2）解：根据题意得DE=13-5=8，AE=10+8=18；
根据割线定理得CE•BE=AE•DE=144．

（3）解：若点B和点C重合，即BE和圆相切，则根据勾股定理得BE=12；
∴12≤BE＜18．
点评：此题能够综合考查圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、割线定理、切线的性质定理和勾股定理．