Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．
（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；
（2）若AD=，当a=2时，求T的值；
（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

Answer 1

【答案】分析：（1）解直角三角形，求得点E到AC的距离等于a，这是一个定值；
（2）如答图2所示，作辅助线，将四边形MDEN分成一个等边三角形和一个平行四边形，求出其周长；
（3）可能存在三种情形，需要分类讨论：
①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示；
②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示；
③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示．
解答：解：（1）由题意得：tanA===，
∴∠A=60°．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=60°．
如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H，

则EH=DE•sin∠CDE=a•=a．
∴点E到AC的距离为一个常数．

（2）若AD=，当a=2时，如答图2所示．

设AB与DF、EF分别交于点M、N．
∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°，
由（1）知∠CDE=60°，
∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°，
又∵∠A=60°，
∴△ADM为等边三角形，
∴DM=AD=．
过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°，
∴△DMG为等边三角形，
∴DG=MG=DM=．
∴GE=DE-DG=2-=．
∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，
又∵DE∥AB，
∴四边形MGEN为平行四边形．
∴NE=MG=，MN=GE=．
∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=．

（3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下：
①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示：

∴T=3a；
②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示：

设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG∥AC交DE于点G．
与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形．
∴DM=DG=NE=AD=，MN=GE=DE-DG=a-，
∴T=DE+DM+MN+NE=a++（a-）+=2a+；
③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示：

设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q．
在Rt△PCD中，CD=，∠CDP=60°，∠DPC=30°，
∴PC=CD•tan60°=×=．
∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．
由（1）知，点E到AC的距离为a，∴PQ=a-．
∴QE=PQ•tan30°=（a-）×=a-，PE=2QE=a-．
由②可知，四边形MDEN的周长为2a+．
∴T=四边形MDEN的周长-PE-QE+PQ=（2a+）-（a-）-（a-）+（a-）=a+-．
综上所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为：
T=．
点评：本题考查了运动型综合题，新颖之处在于所求是重叠部分的周长而非面积．难点在于第（3）问，根据题意，可能的情形有三种，需要分类讨论，避免漏解．