Question

如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠PAC和∠PCA，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：由三角形的外角性质，∠DAC=∠B+∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC，
∵PA、PC分别是∠DAC和∠ACE的角平分线，
∴∠PAC=

1

2

∠DAC=

1

2

（∠B+∠ACB），
∠PCA=

1

2

∠ACE=

1

2

（∠B+∠BAC），
在△ACP中，∠P+∠PAC+∠PCA=180°，
∴∠P+

1

2

（∠B+∠ACB）+

1

2

（∠B+∠BAC）=180°，
∴2∠P+∠B+∠ACB+∠B+∠BAC=360°，
在△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，
∴2∠P+∠B=180°，
∴∠P=90°-

1

2

∠P．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键，整体思想的利用也很关键．