题目内容
已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=
x2+mx+n的图象经过A，C两点.
（1） 求此抛物线的函数表达式；
（2） 求证：∠BEF=∠AOE；
（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（
）
倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.
（1）y=－
x2－x+2（2）证明见解析（3）E坐标为E(－1， 1)或E(－， 2－)（4）P(0， 2)或P （－1， 2）
【解析】解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。
∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2。
∵OC=AB，∴OC=2， 即C （0， 2）。
∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得
，解得：
。
∴抛物线的表达式为y=－x2－x+2。
（2）证明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。
（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论
①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°，
在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。
又∵∠AOB＝90°，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。
②如图①，
当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。
在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。
∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。
又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。
∴BF=EF。∴EF=BF=OF=
OB=×2＝1 。∴ E(－1， 1)。
③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H ，
在△AOE和△BEF中，
∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF，
∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。
∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。
∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2×
=。
∴OH=OB－BH=2－2
。∴ E(－， 2－)。
综上所述， 当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(－1， 1)或E(－， 2－)。
（4） P(0， 2)或P （－1， 2）。
（1）应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。
（2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。
（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。
（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(－， 2－)。
如图③所示，过点E作EH⊥y轴于点H，
则OH=FH=2－。
由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。
过点F作FN∥x轴，交PG于点N。
易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。
依题意，可得S△EPF=（
）S△EDG=（）S△EFN，
∴PE：NE=。
过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－。
∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=。
∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。
∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。
∴2=－x2－x+2，解得x1=0，x2=－1。
∴P点坐标为(0， 2)或（－1， 2）。
综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍，点P的坐标为(0， 2)或（－1， 2）。
如图，在平面直角坐标系中，直
如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
