Question

如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD的中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想：

（2）若三角尺GEF旋转到如图（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗?若成立，请证明：若不成立，请说明理由．

Answer 1

解析：（1）BM=FN．   

    证明：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠F=45°，OB=OF，又∠BOM=∠FON，所以△OBM≌△OFN，则BM=FM   

    （2）BM=FN仍然成立．

  理由：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，所以∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．所以∠MBO=∠NFO=135°．

    又∠MOB=∠NOF，所以△OBM≌△OFN   

    所以BM=FN．