Question

如图，正方形ABCO的边长为

5

，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y轴于点D，且D为B₁C₁的中点，抛物线y=ax²+bx+c过点A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=

1

2

；抛物线的函数表达式是

y=-

5

6

x²-

1

2

x+

10

3

；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2

5

个单位长度的速度沿射线A₁O下滑，直至顶点B₁落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①在Rt△ODC₁中，由旋转的性质知，∠DOC₁=α，而DC₁是正方形边长的一半，可据此求出∠α的正切值；
②在求抛物线的解析式中，必须先求出A₁、B₁、C₁三点的坐标，可过这三点分别作坐标轴的垂线（具体向哪条坐标轴作垂线，可视情况而定），通过构建的直角三角形以及∠α的正切值，可求出这三点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可．
（2）首先要大致确定有几个符合条件的点P：
①点B₁是直角顶点，那么点P必为直线A₁B₁与抛物线对称轴的交点（有一个）；
②点C₁是直角顶点，那么点P必为直线OC₁与抛物线对称轴的交点（有一个）；
③点P是直角顶点，那么点P必为以线段B₁C₁为直径的圆与抛物线对称轴的交点（有两个），可过B₁、C₁作对称轴的垂线，通过构建的相似三角形来求出点P的坐标．
（3）此题的思路并不复杂，但需要考虑的情况较多，大致分成三段考虑即可：
①x轴在O、A₁两点之间、②x轴在A₁、C₁两点之间、③x轴在B₁、C₁两点之间．

解答：解：（1）①∵四边形A₁B₁C₁O为正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中点，
∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1．
∵由旋转性质可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．
∴tanα的值是

1

2

．
②过点A₁作A₁E⊥x轴，垂足为点E．
在Rt△A₁EO中，tanα=

A1E

OE

，
∴

A1E

OE

=

1

2

．
设A₁E=k，则OE=2k，在Rt△A₁EO中，OA1=

5

，
根据勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即k2+(2k)2=(

5

)2，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵点A₁在第二象限，
∴点A₁的坐标为（-2，1）．
直接写出点B₁的坐标为（-1，3），点C₁的坐标为（1，2）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A₁，B₁，C₁．
∴

4a-2b+c=1 a-b+c=3 a+b+c=2

解得

a=- 5 6 b=- 1 2 c= 10 3

∴抛物线的函数表达式为y=-

5

6

x2-

1

2

x+

10

3

．

（2）将（1）的抛物线解析式配方，得y=-

5

6

(x+

3

10

)2+

409

120

．
∴抛物线的对称轴是直线x=-

3

10

．
假设存在符合条件的点P，分三种情况：
①以点B₁为直角顶点；
易求得，直线A₁B₁的解析式：y=2x+5，
当x=-

3

10

时，y=2×（-

3

10

）+5=

22

5

；
②以点C₁为直角顶点；
易求得，直线OC₁的解析式：y=2x，
当x=-

3

10

时，y=2×（-

3

10

）=-

3

5

；
③以点P为直角顶点；
分别过点B₁、C₁作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、H；（如右图）
设点P（-

3

10

，y）：
当点P在直线B₁C₁上方时，
B₁G=1-

3

10

=

7

10

、PG=y-3、C₁H=1+

3

10

=

13

10

、PH=y-2
∵∠B₁PG=90°-∠C₁PH=∠PC₁H，∠B₁GP=∠PHC₁=90°
∴△B₁GP∽△PHC₁，则

7 10

y-2

=

y-3

13 10

解得：y=

25+2 29

10

、y=

25-2 29

10

（舍）；
当点P在直线B₁C₁下方时，同上，可求得y=

25-2 29

10

；
综上，存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形．
满足条件的点P共有4个：P1(-

3

10

，

22

5

)，P2(-

3

10

，-

3

5

)，P3(-

3

10

，

25+2 29

10

)，P4(-

3

10

，

25-2 29

10

)．

（3）设运动后的正方形为O′A′B′C′，分三种情况：
①当点A′运动到x轴上时，t=

1

2

；
当0＜t≤

1

2

时，如图①；
OO′=2

5

t，O′E=

1

2

OO′=

5

t
∴S=S_正方形-S_△OO′E=5-

1

2

×2

5

t×

5

t=-5t²+5；
②当点C′运动到x轴上时，t=1；
当

1

2

＜t＜1时，如图②；
OO′=2

5

t，OA′=2

5

t-

5

，A′F=

1

2

OA′=

2 5 t- 5

2

，O′E=

1

2

OO′=

5

t
B′F=A′B′-A′F=

3 5 -2 5 t

2

，C′E=O′C′-O′E=

5

-

5

t；
∴S=

1

2

（B′F+C′E）×B′C′=

1

2

（

3 5 -2 5 t

2

+

5

-

5

t）×

5

=

25-20t

4

；
③当点B′运动到x轴上时，t=

3

2

；
当1≤t＜

3

2

时，如图③；
同②可得：B′F=A′B′-A′F=

3 5 -2 5 t

2

，B′E=2B′F=3

5

-2

5

t；
∴S=

1

2

×

3 5 -2 5 t

2

×（3

5

-2

5

t）=5t²-15t+

45

4

；
综上，S=

-5t2+5 (0＜t≤ 1 2 ) -5t+ 25 4  ( 1 2 ＜t＜1) 5t2-15t+ 45 4  (1≤t＜ 3 2 )

．

点评：此题涉及的内容相等复杂，难度很大，主要考查的知识点有：函数解析式的确定、正方形的性质、图形的旋转、解直角三角形的应用、相似三角形与直角三角形的判定和性质以及图形面积的解法等等．后两题涉及的情况较多，一定要注意分类讨论．最后一题中，一定要注意t的不同取值范围内，正方形的运动位置．