Question

如图，BC为半圆的直径为10cm，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，弧AD的度数为15度．
（l）求弧AB的长．
（2）△ABE与△DBC是否相似，并请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理得到∠ABC=30°，∠BAC=90°，所以根据直角三角形的性质求得∠ACB=60°；然后由圆周角、弧的关系求得

AB

=

2

3

BAC

；
（2）由BC为半圆的直径，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得）△ABE与△DBC相似．

解答：解：（1）如图，∵BC为半圆的直径为10cm，
∴

BAC

=

1

2

π×5=

5

2

π．
∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=90°．
∵D是弧AC的中点，弧AD的度数为15度．
∴弧AC的度数是30度，
∴弧AB的度数是60度，则

AB

=

2

3

BAC

=

2

3

×

5

2

π=

5

3

π，即弧AB的长是

5

3

π；

（2）△ABE与△DBC是相似．理由如下：
∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角的性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．