Question

（2013•长宁区二模）△ABC和△DEF的顶点A与D重合，已知∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，∠FDE=90°，DF=DE=4．

（1）如图①，EF与边AC、AB分别交于点G、H，且FG=EH．设

DF

=

a

，在射线DF上取一点P，记：

DP

=x

a

，联结CP．设△DPC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）在（1）的条件下，求当x为何值时 PC∥AB；
（3）如图②，先将△DEF绕点D逆时针旋转，使点E恰好落在AC边上，在保持DE边与AC边完全重合的条件下，使△DEF沿着AC方向移动．当△DEF移动到什么位置时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）首先证明△DFG≌△DEH（SAS），进而得出∠FDG=∠EDH，进而得出DF=|

DP

|=x|

a

|=x|

DF

|=4x，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，可得PH′=

1

2

DP=2x，由y=S_△PDC=

1

2

DC•PH′求出即可；
（2）由（1）知∠FDG=30°，得出∠FDG=∠DCP，以及DP=PC若PH⊥AB  则M是DC的中点 DM=6，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，利用cos∠FDG=

DM

AP

求出AP的长，进而得出x的值；
（3）分别利用线段AD、FC、BC的长为斜边时求出符合条件的值即可．

解答：解：（1）如图①，过P作PH′⊥AC于H′．
∵DF=DE，
∴∠DFE=∠E
又∵FG=EH，
在△DFG和△DEH中

FD=ED ∠DFG=∠DEH FG=EH

，
∴△DFG≌△DEH（SAS），
∴∠FDG=∠EDH，
∵∠FDE=90°，且∠FDE=∠FDG+∠EDH+∠BAC
∵∠BAC=30°，
∴∠FDG=30°，
∵DF=4，∴|

DF

|=4
∵

DP

=x

a

=x

DF

，
∴DP=|

DP

|=x|

a

|=x|

DF

|=4x，
在Rt△DPH中，∠FDG=30°，
∴PH′=

1

2

DP=2x，
∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，
∴AC=CD=12，
y=S_△PDC=

1

2

DC•PH′=

1

2

×12•2x=12x（x＞0）；

（2）∵PC∥AB，
∴∠BAC=∠DCP
∵∠BAC=30°，
∴∠DCP=30°，
由（1）知∠FDG=30°，
∴∠FDG=∠DCP，
∴DP=PC
若PH⊥AB，则M是DC的中点 DM=6，
在Rt△DPH中，∠FDG=30°，
cos∠FDG=

DM

AP

=

6

AP

=

3

2

，
∴AP=4

3

，
DP=AP=4x，
∴x=

3

；

（3）如图②，设AD=t，DC=12-t （0＜t＜12）
FC²=DF²+DC²=4²+（12-t）²，
①AD²=FC²+BC²
t²=4²+（12-t）²+36  
解得：t=

49

6

（不合题意，舍去）
②BC²=FC²+AD²
36=4²+（12-t）²+t²，无解，
③FC²=BC²+AD² 
∴4²+（12-t）²=36+t²  
解得t=

31

6

，
∴当△DEF移动到AD=

31

6

时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形．

点评：此题主要考查了几何变换综合题中勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系的应用等知识，注意利用分类讨论得出是解题关键．