Question

已知二次函数y＝x²－(2m＋4)x＋m²－4(x为自变量)的图像与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，且A、B两点到原点的距离AO、OB满足3(OB－AO)＝2AO·OB，直线y＝kx＋k与这个二次函数图像的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值为4．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)确定直线y＝kx＋k的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线与x轴有两个交点， 　　∴关于x的方程x2－(2m＋4)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根． 　　∴Δ＝[－(2m＋4)]2－4(m2－4)＞0． 　　∴m＞－2． 　　设A(x1，0)，B(x2，0)． 　　∵抛物线与y轴的交点在原点的下方， 　　∴m2－4＜0． 　　∴x1·x2＝m2－4＜0． 　　∵点A在点B的左边， 　　∴x1＜0，x2＞0． 　　∵3(OB－AO)＝2AO·OB， 　　∴3[x2－(－x1)]＝2(－x1)·x2， 　　即3(x1＋x2)＝－2x2·x1． 　　∵x1，x2为关于x的方程x2－(2m＋4)x＋m2－4＝0的两个实数根， 　　∴x1＋x2＝2m＋4，x1·x2＝m2－4． 　　∴3(2m＋4)＝－2(m2－4)． 　　整理，得m2＋3m＋2＝0． 　　∴m1＝－1，m2＝－2． 　　∵m＞－2，∴m＝－2舍去． 　　又∵m＝－1符合题意， 　　∴二次函数的解析式为 　　y＝x2－2x－3． 　　(2)(见答图) 　　由y＝x2－2x－3得，A(－1，0)，B(3，0)． 　　∵直线y＝kx＋k与抛物线相交， 　　∴由 　　得或 　　∵∠POB为锐角， 　　∴点P在y轴的右侧． 　　∴点P坐标为(k＋3，k2＋4k)， 　　且k＋3＞0． 　　∵tg∠POB＝4， 　　∴＝4． 　　当＝4时，解得 　　k1＝2，k2＝－2． 　　经检验，k1＝2，k2＝－2都是这个方程的解．但k2＋3＜0， 　　∴k2＝－2舍去． 　　∴y＝2x＋2． 　　当＝－4时，解得 　　k3＝－2，k4＝－6． 　　经检验，k3＝－2，k4＝－6都是这个方程的解．但k4＋3＜0， 　　∴k4＝－6舍去． 　　∴y＝－2x－2． 　　∴所求直线的解析式为 　　y＝2x＋2或y＝－2x－2．