Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，
（1）试证明：△AEP∽△ABC；
（2）求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

证明：（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠APE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AEP∽△ABC；

解：（2）在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴，∵AP=x，
即==，
∴PE=x，，
∴=．（0＜x＜4.8）
分析：（1）可证明△APE和△ACB都是直角三角形，还有一个公共角，从而得出：△AEP∽△ABC；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE=x，，即可得出y与x的函数关系式．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、一次函数的图象以及列函数解析式，是中档题，难度不大．