Question

已知：如图，△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D．

(1)求证：BC＝CD；

(2)若AD＝2，CD＝3，求⊙O的半径；

(3)若点D关于AB的对称点为，试探究当点D满足什么条件时，四边形DBC为菱形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：∵，且OB为⊙O的半径， 　　∴CB切⊙O于点B 　　∵CD切⊙O于点D， 　　∴CD＝CB 　　(2)解：连接OD 　　由(1)得：BC＝CD＝3 　　在中，AC＝AD＋CD＝2＋3＝5， 　　由勾股定理得：AB＝4 　　∵AC切⊙O于点D， 　　∴AC⊥OD于点D 　　∴ 　　∵， 　　∴∽ 　　∴ 　　，∴OD＝ 　　∴⊙O的半径为 　　(3)结论：当点D为AC中点时，四边形为菱形 　　∵AB经过圆心O，点D关于AB的对称点为， 　　∴过点D作，交AB于点M，交⊙O于点． 　　∴，． 　　∴∥ 　　∽ 　　∴，∴ 　　∴ 　　∴四边形是平行四边形 　　由(1)知BC＝CD， 　　∴四边形为菱形．