题目内容
如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．
分析：（1）要证明AD是⊙O的切线只要证明∠OAD=90°即可．
（2）根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长．
（2）根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长．
解答：
（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠E=90°．
∵∠E=∠C，∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°，直径AE=2AO=6，AB=4，
∴BE=
=2
．
∵∠E=∠C=∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD=cos∠E．
∴
=
即
=
．
∴AD=
．
（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90°，∴∠EAB+∠E=90°．
∵∠E=∠C，∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°，直径AE=2AO=6，AB=4，
∴BE=
| AE2-AB2 |
| 5 |
∵∠E=∠C=∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD=cos∠E．
∴
| AB |
| AD |
| BE |
| AE |
| 4 |
| AD |
2
| ||
| 6 |
∴AD=
12
| ||
| 5 |
点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的概念，勾股定理，余弦的概念求解．
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22、如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（ ）
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