Question

（2013•大连一模）如图，直线l₁：y=4x与直线l2：y=-

4

3

x+

20

3

相交于点A，l₂与x轴相交于点B，OC⊥l₂，AD⊥y轴，垂足分别为C、D．动点P以每秒1个单位长度的速度从原点O出发沿线段OC向点C匀速运动，连接DP．设点P的运动时间为t（秒），DP²=S（单位长度²）．
（1）求点A的坐标；
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，DP能否为4

2

？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线l₁：y=4x与直线l₂：y=-

4

3

x+

20

3

相交于点A，联立可得方程组：

y=4x y=- 4 3 x+ 20 3

，解此方程组即可求得点A的坐标；
（2）由OC⊥l₂，即可求得直线OC的解析式，由OP=t，即可求得点P的坐标，由两点式，即可求得DP²的值，联立直线OC与直线l₂：y=-

4

3

x+

20

3

，即可求得点C的坐标，即可求得OC的长，即可得t的取值范围；
（3）由DP=4

2

与（2）中S与t的函数关系式，可得方程S=t²-6t+25=32，解此方程，又由0≤t≤4，即可判定点P的运动过程中DP不能为4

2

．

解答：解：（1）∵直线l₁：y=4x与直线l₂：y=-

4

3

x+

20

3

相交于点A，
∴可得方程组：

y=4x y=- 4 3 x+ 20 3

，
解得：

x= 5 4 y=5

，
∴点A的坐标为（

5

4

，5）；

（2）∵点A的坐标为（

5

4

，5），
∴D（0，5），
∵OC⊥l₂，直线l₂的斜率为-

4

3

，
∴直线OC的斜率为

3

4

，
∴直线OC的解析式为：y=

3

4

x，
联立直线OC与直线l₂：y=-

4

3

x+

20

3

，可得方程组：

y= 3 4 x y=- 4 3 x+ 20 3

，
解得：

x= 16 5 y= 12 5

，
∴点C的坐标为（

16

5

，

12

5

），
∴OC=

( 16 5 )2+( 12 5 )2

=4，
∵OP=t（0≤OP≤OC），
过点P作PE⊥OB于E，
∵tan∠POE=

3

4

，
∴cos∠POE=

4

5

，sin∠POE=

3

5

，
∴P点的坐标为（

4

5

t，

3

5

t），
∴DP²=（

4

5

t-0）²+（

3

5

t-5）²=t²-6t+25，
∴S与t的函数关系为S=t²-6t+25（0≤t≤4）；

（3）不能；
理由：若DP=4

2

，
则S=DP²=（4

2

）²=32，
即S=t²-6t+25=32，
解得：t=7或t=-1（舍去），
∵0≤t≤4，
∴t=7不符合题意，
∴点P的运动过程中DP不能为4

2

．

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求一次函数解析式，两点式、函数交点问题以及方程组的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．