题目内容

四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC= $数学公式$ ∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是

A.
①②
B.
②③
C.
①③
D.
②④

B
分析：根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可．
解答：∵AB=AE，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC不垂直于BD，①错误；
利用边角边定理可证得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正确；
由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB，那么A，B，C，D四点共圆，∴∠DBC=∠DAC= $\text{[math]}$ ∠DAB，③正确；
△ABE不一定是等边三角形，那么④不一定正确；
②③正确，故选B．
点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等．